סר קלייב גילינסון נולד בבנגלור, הודו, בשנת 1946; אמו הייתה צ'לנית מקצועית ואביו איש עסקים, שגם כתב וצייר. סר קלייב החל ללמוד צ'לו בגיל אחת-עשרה וניגן בתזמורת הנוער הלאומית של בריטניה. הוא למד מתמטיקה באוניברסיטת לונדון, אבל הבין כי הוא רוצה להקדיש את חייו למוסיקה, והתקבל לאקדמיה המלכותית למוסיקה, שם הוא זכה בדיפלומת רסיטל וזכה בפרס הגבוה ביותר לצ'לו. לאחר שסיים את לימודיו באקדמיה המלכותית למוסיקה, סר קלייב נהיה לחבר בתזמורת הפילהרמונית.
סר קלייב הצטרף למחלקת הצ'לו של התזמורת הסימפונית של לונדון (LSO) ב -1970 ונבחר למועצת המנהלים של התזמורת העצמאית ב -1976, וכיהן גם כמנהל הכספים שלה. בשנת 1984 הוא התבקש על ידי מועצת המנהלים להתמנות למנכ"ל ה-LSO, תפקיד אותו מילא עד שהפך למנהל האמנותי של קרנגי הול בשנת 2005.
תחת הנהגתו של סר קלייב, ה- LSO יזמה כמה מפסטיבלי האמנות החדשניים והמצליחים ביותר בעיר, ועבדה עם רבים מהיוצרים המובילים. בזירת הסיורים הבינלאומית, הקים ה-LSO תושבות שנתית בניו יורק מ-1997 והיה שותף מייסד בפסטיבל המוסיקה הפסיפית בסאפורו, יפן, ב -1990, יחד עם ליאונרד ברנשטיין ומייקל טילסון תומאס. סר קלייב מאמין בהבאת מוסיקה גדולה אל החברה כולה. בתחום זה, יוזמותיו עם התזמורת הסימפונית של לונדון כללו את פיתוח תוכנית החינוך למוסיקה של LSO Discovery, שמגיע ליותר מ -30,000 אנשים מכל הגילים מדי שנה; ואת יצירת LSO בכנסיית לוקס הקדוש, מרכז לחינוך מוסיקלי של UBS ו-LSO, אשר כלל שיקום ושחזור של כנסיית לוקס הקדוש המפוארת, אשר נזנחה על יד הכנסייה מאז המאה ה -18. סר קלייב גם יצר את LSO Live, חברת הפקת התקליטורים הבינלאומית, עטורת הפרסים, של התזמורת.
סר קלייב כיהן כיו"ר איגוד התזמורות הבריטיות; נמנה על הנאמנים המייסדים של הקרן הלאומית למדע, טכנולוגיה ואמנויות; והיה יו"ר-מייסד של ועדת הניהול של תוכנית המנהיגות ע"ש קלור. הוענק לו האות CBE (מפקד של האימפריה הבריטית) ברשימת מכובדי ראש השנה 1999 הרשמית וקיבל את האות על ביצוע מוסיקה ע"ש סר פרס צ'ארלס גרוב לשנת 2004 על תרומתו יוצאת הדופן למוסיקה הבריטית. סר קלייב התמנה כ-Knight Bachelor ברשימת מכובדי המלכה לשנת 2005, והוא מנהל התזמורת היחיד אי פעם שזכה לתואר אבירות.
סר קלייב קיבל דוקטורט לשם כבוד ממכון קרטיס בפילדלפיה במאי 2007. במאי 2010, הוא קיבל דוקטור לשם כבוד בתחום המדעים ההומאניים ממכללת סקידמור וזכה בפרס LUMINARY של בית הספר למוסיקה ע"ש איסטמן. בשנים 2011 ו 2015, הוא נמנה על חברי חבר השופטים בתחום נגינת צ'לו של התחרות הבינלאומית ע"ש צ'ייקובסקי. הוא קיבל את אות הכבוד הבינלאומי של קונגרס מדינת ניו יורק ISPA (האגודה הבינלאומית לאמנויות הבמה) לשנת 2012. באותה השנה, הוזמן סר קלייב להיות עמית אורח בקולג' סנט קתרין, באוניברסיטת אוקספורד. סר קלייב הוא גם עמית כבוד של בי"ס גילדהול (HonFGS) ומכהן במועצת המנהלים לשם כבוד של מכון ברובק של אוניברסיטת הפסיפיק. בהוקרה על חגיגות המוצלחות של קרנגי הול תחת הכותרת וינה: עיר החלומות והמשך שיתוף הפעולה ההדוק עם התזמורת הפילהרמונית של וינה, כיבדה הממשלה האוסטרית את סר קלייב בכך שהעניקה לו את אות הכבוד היוקרתי בעבור שירותים לרפובליקה האוסטרית. בנוסף על כך זכה בפרס תיאודור ס. קסלמן מסימפוניית הנוער של ניו יורק באוקטובר 2014, ובפרס התזמורת של כנסיית לוק הקדוש למוסיקה באביב 2015. הוא חבר במועצה המייעצת לתואר שני במכון הטכנולוגי של ניו יורק. תוכנית זו, שכותרתה "מנהיגות של אומנויות ותעשיית הבידור" (LAEI), נועדה להכין מנהיגים עתידיים בתחום האמנות והבידור.
סר קלייב כתב לאחרונה ספר בשם "עדיף שידברו עליו", שפורסם על ידי Arch Street Press באוקטובר 2016. הספר מתמקד בליבה ובערכים אישיים, ומציע חוויה ייחודית ומקורית של סר קלייב ומנהיגים רבים אחרים מתוך תחומי מפתח בתרבות, בחינוך, בארגונים ללא כוונת רווח ובתאגידים, והוא פונה לקהל הרחב, החל במנהלים בארגונים ללא כוונות רווח, סטודנטים לניהול האמנויות, ולציבור הדואג לאמנויות, כמו גם לבכירים ולמנהלי תאגידים המחפשים תובנה כיצד יצירתיות יכולה להניב תוצאות משמעותיות.